Diferansiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar, 17. yüzyılın ikinci yarısında, diferansiyel ve entegral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen sonra, İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716) ile başlar. Daha sonraları, matematik tarihinde büyük isim yapmış olan, İsviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeşlerin, 18. yüzyılda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D’Alembert. Charbit, Monge, Laplace ile 19. yüzyılda da, Chrystal, Cauchy, Jacobi, Ampere, Darboux, Picard , Fusch ve F.G. Frobenius, diferansiyel denklemler teorisini, bugünkü ileri seviyeye getiren matematikçilerdir.

Belli tip diferansiyel denklemlerin, belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının ispatı, diferansiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında, Fransız matematikçi A.L. Cauchy tarafından tesis edilmiş ve daha sonra gelenler tarafından geliştirilmiştir.

Newton ve Diferansiyel Denklem
İngiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferansiyel denklemler üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır. 1671 yılında yayınladığı bir makale ile, diferansiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir. Bunlar:

Birinci Sınıf Diferansiyel Denklemler
Bu sınıfa ayırdıkları, dy/dx tipinde olanlardır. Burada y, x’in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur.

İkinci Sınıf Diferansiyel Denklemler
Bu sınıfa ayırdıkları, (dy/dx) = f(x,y) tipinde olanlardır.

Üçüncü Sınıf Diferansiyel Denklemler
Bu sınıftaki diferansiyel denklemler ise, kısmi diferansiyel tipinde olanlardır.

Leibniz ve Diferansiyel Denklem
Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716), diferansiyel denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır. Bu konudaki çalışmalarını, 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur.

Leibniz’in bu eseri, yayınlandığı yıllarda Almanya’da gereken ilgiyi görmemiştir. Fakat, İsviçre’de, Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından, ilgiyle incelenmiştir. 1690 yılında, Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayınlanmıştır. Yine aynı yıllarda; Leibniz ve Bernouilli kardeşler tarafından, diferansiyel üzerinde önemli araştırmalar yapmışlardır. Yeni çözüm yolları geliştirmişlerdir. Leibniz 1691 yılında; f (x,y) = f (x.g (y)) şeklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmıştır.

Euler ve Diferansiyel Denklem
Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783), 1728 yılında, diferansiyel denklemler üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır. Diferansiyel denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir. Seri çözümleri:

(1-x⁴)-1/2dx + (1-y⁴)1/2dy = 0

şeklinde olan Abel’in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur. Bu çözüm, eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır.

Euler’in Denklemi a_i ler sabit olmak üzere, denklemin genel şekli:

a₀x_ny_n + a₁x_n-1y_n-1 + … + a_n-1xy + a_n = q(x)

olan bu denklem, y’ye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayılar değişkendir.

İçinde bulunduğumuz yüzyılın araştırmaları; Eski Hint Dünyası’nda özellikle 6. , 7. , 9. ve 12. yüzyıllarda, matematikle ilgili olarak, çağının bilgi seviyesinin üst düzeyinde ilginç bilimsel çalışmaların varlığını ortaya koymuştur. Eserleriyle adları zamanımıza kadar gelebilen, Hint matematikçileri, bilim tarihinde kendilerini etkin bir şekilde göstermektedir. Bunlardan belirttiğimiz yüzyıllar içinde yaşamış olanlardan: Brahmagupta, Aryabatha, Mahavra ve Bhaskara adlarını belirtebiliriz. Kaynaklar; Brahmagupta’nın Kutakhadyaka adlı eserinde de, münferit cebir konularının görüldüğünü, ancak bunların düzenli ve ayrıntılı olarak, cebir konularını kapsayan sistematik bir eser olmaktan uzak olduğunu belirtir. Buraya kadar; adlarını belirttiğimiz; Diofantos’un “Aritmetika” ve Brahmagupta’nın Kutakhadyaka adlı iki eserde, ikinci derece denklemlerin çizim yoluyla (geometrik yolla) çözümlerinden bahis olmadığını ve mevcut bilgilerin de Mezopotamya menşeli olduğunda kaynaklar hemfikirlerdir.

İnceleyebildiğimiz kaynaklarda; Mısırlılarda, bugünkü cebirin herhangi bir şeklinin varlığına dair, kesin bilgiler görülmemektedir. Ancak; Mısırlılarda, bugünkü cebir konularına benzeyen, oldukça ilkel cebirin varlığı görülmektedir. Bu konuda aha hesabı adı verilen bir hesaplama türüne rastlanılmaktadır. Bu hesaplama türü hakkında, Aydın Sayılı Mısırlılar’da ve Mezopotamyalılar’da Matematik, Astronomi ve Tıp adlı eserinde Berlin ve Rhind Papirüslerine dayanarak şu bilgiyi vermekte;

Aha kelimesi, grup ya da miktar anlamına gelmektedir. Böyle adlandırma, bir metot görüşü olarak yapılmış olmakla beraber, aha hesaplarında, ”Yanlış ve Deneme Yoluyla Yoklayarak Çözüm” metodu kullanılmış olduğu görülmektedir. Ayrıca bu usulle, bazı çözümler cebiri hatırlatıyor. Adı geçen eserde; bu tür hesabın nasıl yapıldığına dair, açıklamalı iki örnek verildikten sonra; müsteşrik S. Gantz’a atfen altı örnek belirtmektedir. Bunlar:

• x/y = 4/3 ; xy = 12
• xy = 40 ; x = (5/2)y
• xy = 40 ; x/y = (1/3) + (1/15) = 2/5
• 10xy = 120 ; y = (3/4)x
• x² + y² = 100 ; y = (3/4)x
• a² + b² = 400 ; a = 2x ; b = (3/2)x

Hemen belirtmek gerekir ki; bu örnekler, Mısırlıların aha hesabında yaptıklarının, bugünkü cebrik düşünceye göre düzenlenmiş gösterim ve tertip şekilleridir.

Yukarıdaki altı tip örnekte görülebileceği gibi, problemler hep özel durumları temsil ediyor. Ancak, Aydın Sayılı adı geçen eserinde, bu konuda : ”Mısırlı matematikçinin zihninde belli çözüm yollarının ve genel formüllerin bulunduğuna şüphe yoktur. Örneğin aha hesaplarıyla ilgili papirüslerde, herhangi bir metot söz konusu edilmemesine rağmen, bunlarda özel bir metoda uyulduğu gayet sarih bir şekilde görülmektedir … Problemlerin pedagojik amaçlarla bu şekilde tertiplenmiş oldukları söylenebilir.”

İnceleyebildiğimiz kaynaklar; Mısır matematiğinde seked ve sek kelimelerinin, bir açının kotanjantına denk anlam ifade etmesinden hareket ederek, trigonometrinin, başlangıcını eski Mısırlılara kadar götürmenin gerektiğini belirtir. bu konuda Aydın Sayılı ”Mısırlılar’da ve Mezopotamyalılar’da Matematik, Astronomi ve Tıp” adlı eserinde şunları yazar: Mısır’da seked dışında, bu konuda herhangi bir gelişmeye şahit olmuyoruz. Seked’e benzeyen ya da onunla aynı olan bir kavramla ”Mezopotamya Matematiğinde” de karşılaşılmakta olduğu ve trigonometrinin başlangıcını Mısırlılara götürmek isabetli düşünce sayılmaz. ”Mısır Geometrisinin”, ”Doğru Geometrisi” olarak vasıf taşıdığını belirterek, müşterik Gandz’a atfen de Mısır’da ”Açı Geometrisinin” mevcut olmadığını belirtir.

Eski Yunan matematikçilerinden Demokrit’te, gelişmiş bir geometri bilgisi görülmektedir. Ancak kaynaklar; Demokrit’in Eski Mısır matematiği ile temasta olduğunda hemfikirdir. Thales, ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğunu bildiği, ancak üçgenin iç açılarının 180 derece olduğu yolundaki bilgilerin Thales’e ait olmadığı anlaşılmıştır. Pisagor, geometri çalışmalarında, güney İtalya’da Kroton’da okullar açmış ve geometrinin gelişmesini sağlamıştır. Öklid, Elementler adlı geometri kitabını yazmakla ün yapmıştır. Bu eserdeki geometri bilgileri 2000 yıl kadar, fazla bir değişikliğe uğratılmadan, geometri derslerinde okutulmuştur. Bu eserin bazı kısımları, günün ihtiyaçlarına cevap vermek için, 1700 yılından itibaren modernleştirilmiştir. Bugünkü geometride bilinen birçok bilgiler, Elementler’de vardır.

Kaynaklar; geometrinin önce Eski Mısır’da başladığını, Eski Yunanlılar’ın geometriyi Eski Mısır’dan öğrenmiş olduklarını belirtmektedir. Tarihçi Herodot (M.Ö. 485-425), geometrinin Eski Mısır’da başladığını ve arazi ölçüsü ihtiyacından doğmuş olduğunu belirtir. Aydın Sayılı: ”Bunun gerçeğe uygun olduğunu, yani bölge bir menşeden başlayarak, geometrinin Eski Mısır’da bir ilim haline geldiğini kabul edebiliriz” der. Eski Yunanlılar’ın, matematikte ve özellikle geometri bakımından, Eski Mısırlılar’dan geniş şekilde yararlanmış oldukları anlaşılmıştır. Bu durumda, Eski Yunanlılara atfedilen geometri bilgileri hakkında şu görüşü belirtebiliriz:

Eski Yunanlılar, Eski Mısır yörelerini uzun yıllar dolaşmışlar. Bu yöreleri ilk dolaşan ve Eski Yunan’ın ilk bilgini sayılan Thalestir (M.Ö. Miletes 640 ? - 548 ?) .Thales’ten sonra Pisagor’un ve Öklid’in bu yöreleri uzun yıllar dolaştıkları tarihi bir gerçektir. Bu bilginler, buralardan elde ettikleri geometri bilgilerini almışlardır. Ayrıca, geometriyi sistemli ispatlara dayanan müstakil bir bilim haline getirmişlerdir. Eski Yunanlılar’ın başarısı, geometriyi sistemleştirip, müstakil bir matematik dalı haline getirmiş olmalarıdır.

Çoğu kaynaklarda; cebir denildiğinde, Eski Roma çağı Yunan matematikçisi Diofantos’un (225-400) adından bahsedilir. Diofantos’un Aritmetika adlı bir eseri mevcut olup, bu eserde sistematik olmamak üzere, münferit bazı cebir konuları ile birlikte, ikinci derece denklemlerin çözümü görülmektedir. Ancak, Diofantos devri Yunan matematiği, bazı harf ve semboller ile ifade edilmekte olduğundan, Diofantos’un yukarda adını belirttiğimiz eseri, Hârizmî’deki cebir işaretleri ve sistemlerinin oynadığı rolden mahrum olması bakımından gerçek anlamda düzenli ve disiplinli bir cebir kitabı olmaktan uzaktır. Kaldı ki; Hârizmî’nin Cebri ve’l Mukabele adlı eserinde görülen çözüm yolları, tamamen geometrik düşüncelerle temellendirilmiş olup, bu tür sistematik çözümü de, cebire ilk ithal edenin, Harezmi olduğu son yüzyıl içinde yapılan araştırmalarla ortaya konulmuştur.

Diofantos’ta görülen ikinci derece denklemlerin çözüm metotları, Mezopotamyalılar’ınkine benzemektedir. Aydın Sayılı adı geçen eserinde : ”Mezopotamyalılarda görülen denklem çözme geleneklerinin, Diofantos’ta devam ettiği görülmektedir. Demek ki Diofantos’taki şekliyle Yunan cebri Mezopotamya cebiririn hemen hemen, doğrudan doğruya bir devamını, Abdülhamit İbn-i Vasi Türk (? - 847) ile Hârizmî cebri ise tadil edilmiş bir şekildeki devamını teşkil etmektedir.”

Kaynaklar, aritmetik denilince, temel bilgilerin, eski Yunan, Roma çağı aritmetikçisi Diofantos (325-400) ile başladığını belirtir. Bilinen tarihi bir gerçek şudur: Bugünkü aritmetiğin, temel bilgilerinin, ilkel anlamda da olsa, Mezopotamya’da var olduğu anlaşılmıştır. Pisagor teoreminin hem özel hem de genel halinin, Babil çağında bilimiş olduğu, Mezopotamyalılardan, zamanımıza intikal eden belgelerden görülmektedir. Tarihçi Heron da Yunan matematiğinde, açık bir Mezopotamya matematiğinin etkisini bulunduğunu belirtir.

Konunun, diğer bir gerçek yönü de şöyledir: Yunanlılar, solon devrinden itibaren, hristiyanlıktan önceki yüzyılın ortalarına kadar, sayı yazısı olarak, sayı kelimelerinin ilk harflerini kullandılar. Bu durum sonucu; birçok birler, onlar ve yüzler meydana getirilmekte, dolayısıyla da sayı yazısı ile sayı dili arasında açık bir boşluk meydana gelmektedir. Ancak, miladi 500. yılında 24 harf ile sami menşeli 3 ek işaret kullanan yeni bir sayı sistemi ortaya çıktı.

Projektif transformasyonlar, koordinatların lineer transformasyonları ile ifade olunmuşlardır. Şu halde, projektif geometriyi kavrayabilmek için geliştirilmiş lineer cebire ihtiyaç vardır. Bu gelişmeyi, Analyse Algenukus (1815) isimli eserinde, Cauchy ve determinantlar teorisinde de Jacobi verdiler. Jacobi’nin tezi ile aynı zamanda, Cayley’in ilk defa olarak, determinantların bir kare şeması tarzında, yazılışında kullanılan ve büyük önem taşıyan tezi intisar etti.

İngilizlerden; Cayley, Sylvester, Smith, Almanlardan; Kronecker, Frobenus ve Fransızlardan Hermite’nin beraber çalışmaları ile Lineer Cebir, yani matrislerle hesap yapma, Basit Bölenler Teorisi kuadratik formların transformasyonları gibi hesaplamalar, 1850 ile 1880 yılları arasında belirli bir seviyeye gelmişti.

Üslü olarak verilen bazı ifadelerin gerçek değerlerini, doğrudan doğruya bulmak, matematik yönünden yapılması zor bir işlemdir. Kaynaklar, bu tür, birtakım hesaplamaları, kolaylıkla yapılmasını sağlayan, logaritmayı ilk kullananı, John Napier (1550 - 1617) olduğunu göstermekte. John Napier tarafından, bu konuda ”Minifici Logaritmorum Canonis Descripto” (bir logaritma cetveli tanımı ve iki ayrı trigonometri ile bütün matematik hesaplarında kolay ve çabuk kullanılmasına genel açıklaması) adlı, zamanın bilim dili olan Latince olarak kaleme alınmış eser, ilk kez 1614 yılında Edinburg şehrinde yayınlandı. Böylece logaritma adını da John Napier koymuştur.

Bir logaritma çizelgesinin hazırlanmasında, taban olarak 1 den büyük sayı seçilebilir. Napier, çizelgesini (e) tabanına göre hazırlamıştır. Fakat çizelgeyi tamamladıktan sonra, (e) sayısını almakla, zor bir sistem ortaya koyduğunu, uygulaması sırasında farkına vardı. Daha sonraki yıllarda, 10 tabanlı, yeni bir logaritma sisteminin hesaplama işlerinde büyük kolaylıklar sağlayabileceğini düşündü. Fakat, bu yeni sisteme ait, düşündüğü temel ilkeleri, bizzat ortaya koyamadan öldü. Ömrünün son günlerinde, arkadaşı olan, İngiliz matematikçi ve astronom Henri Briggs’ten (1551 - 1630) düşüncelerinin tamamlanmasını istedi.

Henri Biggs, bu isteğe uyarak, 10 tabanına göre, bir logaritma cetveli hazırlayarak, 1617 yılında yayımlamıştır. Bu eser, 1′den 1000′e kadar olan sayıların 14 ondalıklı logaritmalarını gösterir. Henri Briggs, ilk logaritma cetvellerinin yayımından 7 yıl sonra, yani 1624 yılında; önceleri, 1′den 20.000′e daha sonra da, 90.000′den 100.000′e kadar olan sayıların 14 ondalıklı logaritmalarını kapsayan Logaritmik Aritmetik adlı bir eser daha yayımladı.

Daha sonra, Hollandalı matematikçi Adrien Vlacq, Henry Briggs’ten eksik kalan, 20.000′den 90.000′a kadar olan sayıların logaritmik değerlerini hesap etti ve cetvellerini 1626 yılında, Briggs’ in adı altında, Goude’de yayımladı. Bu yeni çizelgeler, 10 ondalıklı olup, 1′den 1.000.000′a kadar sayılan , ve 0 dereceden 90 dereceye kadar olan açıların, 1′er açı dakikası aralıklı olarak, için sinüs, tanjant ve sekantın logaritma değerlerini kapsıyordu. Ayrıca, her biri 10″ için, sinüs ve tanjantın logaritmalarına ilişkin bir çizelge yayımlandı. Logaritma cetvelleri üzerine eser hazırlayanlar, Adrien Vlacq’ ın bu eserini temel kabul ederler.

Türk-İslam Dünyası’nda Logaritma

Ülkemizde yazılan, matematik tarihi ile ilgili bazı kaynaklarda, Osmanlı Türkiyesi’nde, Logaritma ile ilgili ilk eserin, Osmanlı Türkiyesi’nin son matematikçilerinden İsmail Efendi (1730 - 1791) tarafından 1772 yılında yazıldığı belirtilir. Konu ile ilgili ayrıntılı bilgi veren Cevdet Paşa Tarihi’ndeki, bilgilerin yalnış değerlendirilmesi sonucu da, memleketimizde yayınlanan bazı eserlerde, İsmail Efendi logaritmayı icad etti şeklinde bilgiler verilir.

Logaritma ile ilgili ilk eserin, İskoçyalı John Napier (1550 - 1610) tarafından yayımlandığı bilinen tarihi bir gerçektir. Bu durumda, logaritma ile ilgili bilgiler, İsmail Efendi’den ortalama 80 yıl kadar önce Avrupa matematik dünyasında bilinmekte idi. Konuya biraz daha açıklık getirmek için; tarihi gelişimi içinde, ayrıntıları ile incelenmiş olan Bursalı Mehmet Tahir Efendi’nin Osmanlı Müellifleri adlı eserinde, şu bilgiler vardır: Üçüncü Ahmed zamanında, (1703 - 1730), Paris’e giden 28. Mehmet Çelebi aracılığıyla, Dominique Cassini’nin astronomi tabloları elyazma İstanbul’a gelir. Bu eserin baş kısmında bulunan logaritma cetvelleri, zamanın güveni-lir matematikçisi Kalfazade İsmail Çınari tarafından, 3.Mustafa zamanında ilk defa 1772 yılında, tercümesi yapılan Tuhferi Behic-i Rasini Tercüme-i Ziyc-i casini adındaki kitabın baş tarafına konmuştur. Daha sonraki yıllarda da, Mahmut Şevket Paşa ve Kirkor Kömürcüven tarafından, zamanın bilim dili olan Arapça olarak logaritma cetvelleri hazırlanmıştır.

Matematik sözcüğü, ilk kez, M.Ö. 550 civarında Pisagor okulu üyeleri tarafından kullanılmıştır. Yazılı literatüre girmesi, Platon’la birlikte, M.Ö. 380 civarında olmuştur.

Kelime manası ”öğrenilmesi gereken şey”, yani, bilgidir. Bu tarihlerden önceki yıllarda, matematik kelimesi yerine, yer ölçümü manasına gelen, geometri ya da eski dillerde ona eşdeğer olan sözcükler kullanılıyordu.

Matematiğin nerede ve nasıl başladığı hakkında da kesin bir şey söylemek mümkün değildir. Dayanak olarak yorum gerektiren arkeolojik bulguları değil de, yorum gerektirmeyecek kadar açık yazılı belgeleri alırsak, matematiğin M.Ö. 3000-2000 yılları arasında Mısır ve Mezopotamya’da başladığını söyleyebiliriz.

Herodotos’a (M.Ö. 485-415) göre matematik Mısır’da başlamıştır. Bildiğiniz gibi, Mısır topraklarının %97’si tarıma elverişli değildir; Mısır’a hayat veren, Nil deltasını oluşturan %3′lük kısımdır. Bu nedenle, bu topraklar son derece değerlidir. Oysa, her sene yaşanan Nil nehrinin neden olduğu taşkınlar sonucunda, toprak sahiplerinin arazilerinin hudutları belirsizleşmektedir. Toprak sahipleri de sahip oldukları toprakla orantılı olarak vergi ödedikleri için, her taşkından sonra, devletin bu işlerle görevli ”geometricileri” gelip, gerekli ölçümleri yapıp, toprak sahiplerine bir önceki yılda sahip oldukları toprak kadar toprak vermeleri gerekmektedir. Heredot geometrinin, bu ölçüm ve hesaplarının sonucu olarak oluşmaya başladığını söylemektedir.

Matematiğin doğuşu hakkında ikinci bir görüş de, Aristo (M.Ö. 384-322) tarafından ileri sürülen şu görüştür. Aristo’ya göre de matematik Mısır’da doğmuştur. Ama Nil taşmalarının neden olduğu ölçme-hesaplama ihtiyacından değil, din adamlarının, rahiplerin can sıkıntısından doğmuştur. O tarihlerde, Mısır gibi devletlerin entellektüel sınıfı rahip sınıfıdır. Bu sınıfın geçimi halk veya devlet tarafından sağlandığı için, entellektüel uğraşlara verecek çok zamanları olmaktadır. Kendilerini meşgul etmek için, başkalarının satranç, briç, go gibi oyunlar icat ettikleri gibi, onlar da geometri ve aritmeği, yani o zamanın matematiğini icat etmişlerdir.

Bu her iki görüş de doğru olabilir; rahipler geometricilerin işini kolaylaştırmak istemiş, ya da dağıtımın adil yapıldığını kontrol için, üçgen, yamuk gibi bazı geometrik şekillerdeki arazilerin alanlarının nasıl hesaplanacağını bulmuş ve bu şekilde geometrinin doğmasına neden olmuş da olabilirler.