Aritmetikten Matematiğe
Matematiğin; en geniş ve en iyi bilinen dalı aritmetiktir. Aritmetikte, çoğu zaman deney ve muhakeme ile sonuçlar elde etmek mümkündür. Matematik ise, tümdengelime dayalı, daha zor problemleri çözmede geleneksel matematikle birlikte kullanılır. Yüzyıllar boyu süregelen gelişmeler ve bunun sonucu olarak matematiğin kapsamı, insanların düşünce sınırını aşmıştır. Aritmetik, matematiğin çeşitli dallarından biridir.

Bugünkü matematik, 544 dala ayrılmıştır. Bunlardan birkaçının daha fazlasının hakkında gelebilecek bir matematikçi düşünülümez. Bu 544 daldan, herhangi birinin iyice incelenmesi dahi, bir matematik dehasını, bütün ömrü boyunca meşgul edebilir. Öyleki; matematiğin hepsini, belli bir sürede bir kimsenin bilmesi ve öğrenmesi mümkün değildir. Çünkü, matematik üçyüz yıldır hızla gelişmekte, aynı zamanda da derin ve geniş konuları içermektedir. Ayrıca, yılın her gününde, bir insanın bir günde öğrenebileceğinden çok daha fazla, yeni matematik buluşları ortaya konmaktadır. Gerçekten, son elli yıl içinde keşfedilenler, insanlığın varlığından bu yana geçen binlerce yıl içinde bulunanlardan kat kat daha fazladır.

İlkçağ Mağara İnsanı ve Aritmetik
İlkçağ insanı, rakam ve sayıları kullanmak ihtiyacını duymuştur. Bu devir insanları, ihtiyaçlarını kaydedip saklamasını da biliyordu. Avladıkları hayvanın veya sürüsündeki koyunların sayılarını belirtmek için, yaşadıkları mağara duvarlarına çizikler çizmişler, bir ağaç dalına çentikler yapmışlardır. Bazen de, ipe düğüm atmışlar, veya çakıl taşlarını kullanmışlardır.

Bu devrin, 13-15 yaşlarındaki insanı, koyun ve geyik gibi varlıkları, ok gibi eşyaları sayabilmek için, ufak yuvarlak çakıl taşlarına sahip olması, veya kesilmiş bir ağaç dalı üzerine çentik yapması icap edecekti. Bir taş ya da sopa üzerinde işaretlenmiş bir adet çentik, tek koyunu ifade ederdi. Belli bir zaman sonra, eğer herbir taş veya çentik için bir koyun yoksa, o insan bir veya birkaç koyunun kayıp olduğunu anlardı. Bu devrin insanları, sayıları bir yere kaydedip saklamasını da biliyorlardı.

İlkel insanlar, sayılar için kil tabletler üzerine çizikler kazmayı veya kesilmiş ağaç dalına çentikler yapmaya başlamakla, ilk defa sayıları yazılı olarak ifade etmiş oluyorlardı. İlkçağ insanının kullandığı bu işaretler, rakam ve sayıların ilk yazılı ifadeleridir.

Bunların yanında; ilkel insanlar sayıları belirtmek için, değişik ses ve kelimeler de kullanmışlardır. Bugün sayıları belirten standard hale gelmiş şekil ve sözcükler vardır. Günümüzde; sayılar, hem 1,2,3,… gibi sembollerle ve hem de; bir, iki, üç.. gibi kelimelerle ifade edilmektedir. Bugün dört adet kalemi, ”dört kalem” kelimesi ile belirtip ”4” sembolü ile gösterebiliyoruz.

Eski Mısırlılar’da Aritmetik
Bilinen en eski sayma sistemlerinden biri, Eski Mısırlılar’a ait olanıdır. Eski Mısırlılar’ın kullandıkları resim yazısının (hiyeroglif) başlangıç tarihi, M.Ö. 3300 yılına kadar gider. Böylece, Mısırlılar yaklaşık 5300 yıl önce, milyona kadar olan sayıları kapsayan bir sistem geliştirmişlerdir. Eski Mısırlılar’a ait sayma sistemi, ilkçağ mağara insanının önceleri kullandığı sayma sisteminin gelişmiş şeklidir.

Eski Mısır aritmetiği hakkında bildiklerimiz, zamanımıza kadar intikal etmiş papirüs tomarlarından elde edilmektedir. Bugün bu papirüsler; bilim tarihinde M.Ö. 1900-1800 yılları için adlandırılan, Kahun ve Berlin papirüsleri ile, M.Ö. 1700-1600 yılları için adlandırılan Hiksoslar devrinden kalma Rhind ve Moskova matematik papirüsleridir. Mısır matematiği hakkındaki diğer kaynaklar, birkaç parşömen tomarı ile kil ve tahta tabletlere dayanmaktadır. Eski Mısır’da rakam ve sayılar bazı sembollerin yan yana gelmesiyle ortaya çıkıyordu. Bütün rakamlar, 7 değişik şeklin biraraya gelmesiyle ifade ediliyordu. Örneğin, 1 için yukardan aşağıya düşey bir çizgi, 10 için at nalı şekli, 100 için çengel işareti, 1000 için lotus çiçeği, 10000 için işaret parmağı, 100000 için tatlı su balığı, 1000000 için tatlı su balığı şekillerini kullanmışlardır ve yazım biçimi de sağdan sola doğru ifade ediliyordu.

Sayıları da, sembollerle göstererek bir sayı sistemi geliştirmişlerdir. Eski Mısırlılar 1′den 1 milyona kadar olan sayıları göstermek ve yazmak için değişik semboller kullanmışlardır. Örneğin, 9 sayısını ifade etmek için, 9 adet düşey çizgi; 90 sayısını ifade etmek için, 9 adet at nalı, kullanmak gerekiyordu.

Eski Mısırlılar, bu sembolleri, gerektiğinde tahta, ağaç ve taş üzerine de oymuşlardır. Bu rakamları, birkaç kez kullanarak, istenilen sayıları göstermişlerdir. Bu sistemde; gruplamalar onarlık olduğundan, sistem onluk sistemdir. Eski Mısır Sistemi, aşağıda belirtilen özelliklerinden dolayı, mağara insanının kullandığı sistemin geliştirilmiş şekliydi.

• Bir kümede, bulunan şeylerin toplam sayısı, sadece bir tek sembolle belirtilmiştir. Örneğin, 10 sayısının bir topuk kemiği sembolü ile belirtilmesi gibi…
• Diğer sayıları göstermek için, aynı semboller tekrarlanmıştır.
• Bu sistemde onluk gruplar esas alınmıştır. On düşey çizgi, bir topuk kemiği sembolünü, en topuk kemiği sembolü de, bir çengel sembolüne eş değerdir. Bu şekilde devam eder. Eski Mısırlılar sıfır kavramını da bilmiyorlardı ve sıfırı gösterecek bir işaret kullanmamışlardı. Fakat, sayıları çarpma ve çıkarma tablolarına, ehramların yapılış tarihinden itibaren sahip bulunuyorlardı.

Afet İnan, Eski Mısır Tarih ve Medeniyeti adlı eserinde şunları yazar: ”Mısır’da rakamların yazılışını çok eski zamanlardan itibaren bulmak mümkündür. IV. sülale zamanında (M.Ö. 2778 - 2413) Methe’nin mezarında bulunan yazılarda ölçü sistemlerinin mükemmel bir şekilde tespit edildiği de anlaşılıyor.”

Kaynaklar, XII. sülale zamanından (M.Ö. 2000-1787) kalma, bir takım aritmetik problemlerini açıklayan papirüsler ele geçtiğini, bunların bugün, Kahun, Moskova, Berlin ve Rhind papirüsleri diye adlandırıldığını belirtir. Afet İnan, adı geçen eserinde, bu konuda şu bilgileri de verir: ”Bu papirüs metinlerinde, birçok matematik ve geometrik esaslar, ilmi bir şekilde konulmuştur. Bilhassa, Rhind papirüsü, Mısır matematiğinin bir abidesi sayılır. Bu türlü vesikalarda, ölçülerin ne gibi esaslara göre yapılacağı, örneklerle mevcuttur. Ehramlar, doğrudan doğruya bir geometrik problemin tatbik edilmiş şeklidir. Bunlardan başka, diğer yapılar da bu hesaplara göre yapılmıştır. Mısırlılar Pisagor teoreminin yalnız 3, 4, 5 özel halini yani kenarları 3, 4, 5 olan bir üçgenin, bir dik üçgen olduğunu biliyor ve bundan inşaat ve ölçü işlerinde faydalanıyorlardı.”

Hemen belirtmek gerekir ki, Eski Mısırlılar’ın hayatı, Nil Irmağı’nın yükselme ve alçalmasına bağlı olduğundan, bu durumu daima ölçmek ve kontrol etmek lazımdı. İşte bu hesaplar ve arazi ölçülerinden dolayı, Eski Mısır’da aritmetik ve geometrik ilimler büyük gelişme göstermiştir. Çünkü suyun yükselme ve alçalmasıyla, şahıslara ait arazi üzerindeki sınırlar bozuluyor ve bunları belirli ölçülere göre, yeniden tespit etmeleri gerekiyordu. Bu sebebten büyük bir itina ile gerekli ölçme ve hesaplamalar yapılmıştır.

Aydın Sayılı, Mısırlılar’da ve Mezopotamyalılar’da, Matematik, Astronomi ve Tıp adlı eserinde bu konuda şunları yazar: ”Mısır rakamları, oldukça ilkel bir vasıf taşımalarına rağmen bunlar tarihte bilinen ilk ve en eski rakamlar arasında bulunmakla, büyük bir değer ve önem taşırlar. Çünkü bunlar belirli sembollerle ifade edilmesi, zihniyet ve düşüncesinin ilk örneklerinden, belki sadece Sümerliler istisna edilirse, en eskisini teşkil etmektedir.”

Eski Yunan’da Aritmetik
Kaynaklar, aritmetik denilince, temel bilgilerin, eski Yunan, Roma çağı aritmetikçisi Diofantos (325-400) ile başladığını belirtir. Bilinen tarihi bir gerçek şudur: Bugünkü aritmetiğin, temel bilgilerinin, ilkel anlamda da olsa, Mezopotamya’da var olduğu anlaşılmıştır. Pisagor teoreminin hem özel hem de genel halinin, Babil çağında bilimiş olduğu, Mezopotamyalılardan, zamanımıza intikal eden belgelerden görülmektedir. Tarihçi Heron da Yunan matematiğinde, açık bir Mezopotamya matematiğinin etkisini bulunduğunu belirtir.

Konunun, diğer bir gerçek yönü de şöyledir: Yunanlılar, Solon devrinden itibaren, hristiyanlıktan önceki yüzyılın ortalarına kadar, sayı yazısı olarak, sayı kelimelerinin ilk harflerini kullandılar. Bu durum sonucu; birçok birler, onlar ve yüzler meydana getirilmekte, dolayısıyla da sayı yazısı ile sayı dili arasında açık bir boşluk meydana gelmektedir. Ancak, miladi 500. yılında 24 harf ile sami menşeli 3 ek işaret kullanan yeni bir sayı sistemi ortaya çıktı.

Mezopotamyalılar’da Aritmetik
Mezopotamyalılarda rakamlar, çivi yazısında görülen çivi yada oduncu kamasına benzeyen şekillerden ibarettir. Bu işaretlerin (sembollerin) uygun biçimde, yan yana veya büyük sayıları gösterebilmek için toplu olarak veya tekrarlayarak grup halinde yazmak suretiyle 60′a kadar sayıları ifade edebiliyorlardı. Bu tür yazım şeklinde, 0.1 ve 0.01 ile 0.001 gibi rakamların arasındaki farkı anlamak bir hayli güçtü. Bunu anlayabilmek için; metin, konu ve karine yardımıyla sonuç çıkarma yollarına gidilirdi. Mezopotamyalılar da, sıfır sembolünü kullanmamışlardır. Ancak astronomilerinde bu maksatla, özel bir sembol kullandıkları anlaşılmaktadır.

Babil Sayma Sistemi
M.Ö. 2000 yıllarında Mezopotamya’da yaşayan Babillilerin, bilimin çoğu dalında, oldukça ileri bir seviyeye ulaşmış oldukları bilinmektedir. Öyle ki; Babil şehrini zamanın bilim merkezi haline getirmişlerdir. Özellikle matematik ve astronomide çok ilerlemişlerdir.Babilliler, 59′dan büyük sayıları da, basamak düşüncesinden yararlanarak yazdılar. 60 sayısını taban olarak kullandılar. Gruplamalarını 60′lık olarak, yani 60×2 = 120, … şeklinde yaptılar. Böylece ilk kez sayılarda basamak fikrini gösterdiler. Babiller, sayıları yazarken iki tane sembol ve bulunmayan basamaklar yerini doldurmak için de, (( : )) işaretini kullanmışlardır.

Babil rakamları arasında da, sıfır rakamını gösteren bir sembol yoktur. Rakamları sağdan sola doğru yazarak ifade ettikleri anlaşılmaktadır. Babilliler, kil tabletler üzerine ‘’sitilüs” adı verilen tahta parçası ile yazarlardı. Bu tür yazıya çivi yazısı denir. Kağıt yapmayı, henüz bilmediklerinden, kilden yapılmış levhalar kullanmışlardır.

Dört Temel İşlem
Toplama: Rakamları (işaretleri) yan yana yazarak yapıyorlardı.

Çarpma: Toplama işlemine benzer, çok yorucu bir yol uyguluyorlardı. Bu kadar uzun işlemlerin zorluğu karşısında, özel çarpma tabloları hazırlamışlardır.

Kesirler: Çoğu zaman kesirler, paydası birim (yani 60) olan sayı ile ifade ediliyordu. Yalnız, çok eski tarihten beri, Babil’de 1/3, 2/3, 5/6 gibi bir çok basit kesirlerin kullanıldığı da anlaşılmaktadır.

Ondalık Kesirlerin Avrupa’da Görülmesi
Bilim tarihinde, Doğu bilim dünyasında Arapça ve Farsça olarak yazılan eserlerin batı dillerine çevrilmesi sonunda 12. ile 16. yüzyıllar ”Tercüme Yüzyıl” olarak gösterilir. Bu durum sonucudur ki; Batı bilim dünyasında tam sayıların ondalık kesirler olarak gösterilmesi konusunda ilk eser Fransezko Pelles tarafından hazırlanmıştır. Bu eser, 1492 yılında Torino’da yayınlanan ”Ticari Hesaba Dair” eserdir. Pelles, ilgili eserinin ikinci cildinde, ondalık kesirlerde virgül işaretini kullanmıştır. Gıyasüddin Cemşid ise ”Risalet - ül Muhitiyye” adlı eserinde, ondalık kesirlerde virgül kullanmayarak, sayının tam kısmının üzerine ‘’sıhah” kelimesi koymak suretiyle, sayının ondalık kısmını tam kısmından ayırmıştır. Gıyasüddin Cemşid’de görülen bu tür gösterim şekli, Pelles’in yukarda belirttiğimiz eserinden ortalama seksen yıl öncelerine rastlanmaktadır.

Romalılar’da Aritmetik
Romalılar, Eski Mısırlıların yıllarca önce yaptıkları gibi, önceleri, bazı sembolleri tekrarlayarak sayıları yazarlardı. (Örnek 1). Sonraları da, çıkarmadan yararlanarak, daha kısa yazma yollarını ortaya koydular (Örnek 2).

Örnek 1:
XXXXX = 50
MDCLXVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 1 = 1666
DLXIII = 500 + 50 + 10 + 1 + 1 + 1 = 563

Örnek 2:
XC = 100 - 10 = 90
IX = 10 - 1 = 9

Başlangıçta değişik bazı sembol ve harfleri, rakam olarak kullanmışlardır. Bu rakamları, ilk olarak Romalılar kullandıkları için, aritmetikte ”Roma Rakamları” ya da ”Romen Rakamları” olarak adlandırılır. Kaynaklar, Roma rakamlarının bir elin parmaklarından esinlenerek ortaya konduğunu belirtir. Romalılar, bugün kullandığımız l, 2, 3, 4 rakamları yerine I, II, III, IIII sembollerini ve 5′i belirtmek için de, V şeklinde bir el işaretini sembol olarak kullandılar. 10′u belirtmek için de V sembolünü, değişik biçimde iki kez kullanarak X sembolünü elde ettiler. (Çaprazlanmış iki düşey çizgi.) Diğer rakamları da alfabelerindeki harflerden aldılar. Romalılar sayıları belirtmek için, 7 ayrı harfi rakam olarak kullanmışlardır. Aşağıdaki tabloda, Roma rakamları gösterilmiştir.

Roma rakamlarına dayalı, Roma sayma düzenine göre, toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılmasında, bazı temel özellik ve sınırlamalar vardır. Bunları özetlersek:

• Toplama İşlemindeki Özellik ve Sınırlamalar
  Yanyana yazılan ve aynı sembolü gösteren, iki ya da üç temel rakam birbiriyle toplanarak, toplama karşı gelen sayı elde edilir.III = 1 + 1 + 1 = 3
  XX = 10 + 10 = 20
  (Bu rakamların yazılışları ile ilgili önemli özellik : I, X, C sembolleri yanyana, 3′ten fazla; V, L, D, M sembolleri de, 1′den fazla yazılamaz.)
• Büyük rakamların sağına yazılan küçük rakamlar, kendisi ile toplanarak toplama karşı gelen sayı elde edilir.XV = 10 + 5 = 15
  DLXI = 500 + 50 + 10 + 1 = 561
• Küçük değerleri gösteren semboller (rakamlar), büyük değerleri gösteren sembollerin sağına yağıldığında, bu değerler toplanarak toplama karşı kelen sayı elde edilir.
  MDCLXVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 1666
  DLXI = 500 + 50 + 10 + 1 = 561

Çıkarma İşlemindeki Özellik ve Sınırlamalar

• 5 ile başlayan V, L, D sembolleri, çıkarma amacı ile, kendinden büyük değer belirten sembollerin soluna yazılmaz.
• Bir sayı, ancak aşağıdaki durumlarda çıkarılabilir.I sadece V ve X den çıkarılabilir.
  X sadece L ve C den çıkarılabilir.
  C sadece D ve M den çıkarılabilir.
• Küçük değerli semboller, büyük değerli sembollerin, soluna yazıldığında, büyük değerden küçüğü çıkarılır, bu fark sayıyı verir.IX = 10 -1 = 9
  XL = 50 -10 = 40
• İki büyük değerli sembol (rakam) arasına yazılan küçük değerli sembol, sağındakinden çıkarılmak suretiyle, sonuca denk gelen sayı elde edilir.CXL = 140
  LIX = 59

Görülüyor ki; Roma sayma düzeni, sadece toplama ve çıkarma işlemine dayanmaktadır. Sıfır ve basamak sistemi (kavramı) yoktur. Bu nedenle, aritmetik işlem yapmaya uygun değildir. Şöyle ki : Roma’da Forum Meydanı’ndaki süslü hitabet kürsüsünün ”Columna Restrata” sütünunda 2.200.000 sayısını belirtmek için yirmi iki adet ”yüz bin” i gösteren sembol (sayı işareti) oyulmuştur. Roma rakamları bu özellikleri dolayısıyla; bugün matematik işlemleri yapmak amacıyla kullanılmamaktadır. Ancak, çok sınırlı olan, bazı özel gösterimler için kullanılmaktadır.

Türk-İslam Dünyası’nda Aritmetik
Aritmetikte temel işlem olarak adlandırılan; toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kesirli ifadelerle ilgili bilgiler, ilkel şekliyle, Eski Mısır ve Mezopotamya’da vardı. Bu bilgiler, uzun zaman aralığı içinde gelişerek, bugünkü kullanılabilir ve sistemleşmiş durumunu almıştır. Matematik tarihinde; aritmetikte, ondalık sayılarda virgül kavramı ile, tam sayı kavramında sıfır rakamının kullanılması çok önemli bir olaydır.

Bilim tarihi eserleri, ondalık sayı kavramında önemli yeri olan virgül kullanma şerefinin, 15. yüzyıl Türk-İslam Dünyası matematik ve astronomi alimi Gıyasüddin Cemşid’e ait olduğunu belirtir. Gıyasüddin Cemşid tarafından hazırlanan Risalet’ül Muhitiyye adlı eserde, aritmetik işlemlerde ilk kez virgül kullanılmıştır.